Question

16．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的四等分点，若$\overrightarrow{AP}$=（m+$\frac{1}{10}$）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{BC}$，则m=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 根据条件及向量数乘的几何意义便可得到$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AN}$，而由向量减法的几何意义及向量的数乘运算便可得出$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AN}$，而由图形看出B，P，N三点共线，从而有$m+\frac{2}{5}=1$，这样便可得出m的值．

解答 解：根据条件，$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AN}$；
∴$\overrightarrow{AP}=（m+\frac{1}{10}）\overrightarrow{AB}+\frac{1}{10}\overrightarrow{BC}$
=$（m+\frac{1}{10}）\overrightarrow{AB}+\frac{1}{10}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$m\overrightarrow{AB}+\frac{1}{10}\overrightarrow{AC}$
=$m\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AN}$；
∵B，P，N三点共线；
∴$m+\frac{2}{5}=1$；
∴$m=\frac{3}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 考查线段四等分点的概念，向量数乘的几何意义，以及向量减法的几何意义，向量的数乘运算，三点A，B，C共线的充要条件：$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$，x+y=1．