Question

已知椭圆E：，设该椭圆上的点到左焦点F（-c，0）的最大距离为d₁，到右顶点A（a，0）的最大距离为d₂．
（Ⅰ） 若d₁=3，d₂=4，求椭圆E的方程；
（Ⅱ） 设该椭圆上的点到上顶点B（0，b）的最大距离为d₃，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设，知，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）椭圆上任意一点P（acosθ，bsinθ），则点P到上顶点B（0，b）的距离为|PB|，，先构造二次函数f（t）=-c²t²-2b²t+a²+b²（-1≤t≤1），再由分类讨论思想能求出椭圆上的点到上顶点的最大距离．
解答：（Ⅰ）解：由题，知，
∴椭圆E的方程为；…（5分）
（Ⅱ）证明：椭圆上任意一点P（acosθ，bsinθ），
则点P到上顶点B（0，b）的距离为|PB|，，
构造二次函数f（t）=-c²t²-2b²t+a²+b²（-1≤t≤1），
其对称轴方程为．
1°当，
即b²＞c²时，f（t）≤f（-1）=4b²，
此时，
而，从而；
2°当，即b²≤c²时，
，
此时；
综上所述椭圆上任意一点到上顶点的距离都小于等于，
所以椭圆上的点到上顶点的最大距离．…（15分）
点评：本题考查椭圆方程的求法和不等式的证明，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高．解题时要熟练掌握椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系的综合运用，注意构造法的合理运用．