Question

20．已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|-$\frac{1}{2}$＜x≤2}（a≠0）．
（Ⅰ）若A=B，求出实数a的值；
（Ⅱ）若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）集合相等，转化为元素间的相等关系求解
（Ⅱ）p⇒q得A⊆B且A≠B，转化为集合的关系求解．

解答 解：（Ⅰ）当a＞0时，A=（-$\frac{1}{a}$，$\frac{4}{a}$]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{a}=2}\end{array}\right.$，
解得a=2，
当a＜0时，A=[$\frac{4}{a}$，-$\frac{1}{a}$），显然A≠B，
故A=B时，a=2，
（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，
∴p⇒q⇒A?B，
∴0＜ax+1≤5，
∴-1＜ax≤4，
当a＞0时，A=（-$\frac{1}{a}$，$\frac{4}{a}$]，则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}≥-\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{a}＜2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}＞-\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{a}≤2}\end{array}\right.$，解得a＞2，
当a＜0时，A=[$\frac{4}{a}$，-$\frac{1}{a}$），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{a}＞-\frac{1}{2}}\\{-\frac{1}{a}≤2}\end{array}\right.$，解得a＜-8
综上p是q的充分不必要条件，实数a的取值范围是（-∞，-8）∪（2，+∞）

点评 本题考查了以及必要条件，充分条件及充要条件的判断，其中根据题意列出关于a的方程及不等式是解本题的关键．