Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，且图象上有一个最低点为M（$\frac{2π}{3}$，-3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{9}{5}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$，求sinα．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由最低点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+$\frac{π}{6}$）的值，再利用两角和差的正弦公式，求得sinα=sin[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，
可得$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2．
根据图象上有一个最低点为M（$\frac{2π}{3}$，-3），可得A=3，2•$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即φ=2kπ-$\frac{11π}{6}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）已知f（$\frac{α}{2}$）=3sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{9}{5}$，∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}$＜α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=±$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=±$\frac{4}{5}$，
当 cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$ 时，sinα=sin[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{4}{5}•\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$＜0（舍去）．
当 cos（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$时，sinα=sin[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{4}{5}•\frac{1}{2}$）=$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$．
综上可得，sinα=$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由最低点的坐标求出φ的值．还考查了同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，属于中档题．