Question

已知函数f(x)=-x²+2ex+t-1,g(x)=x+(x>0,其中e表示自然对数的底数).

(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;

(2)确定t的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.

Answer 1

解:(1)法一　g(x)=x+≥2=2e,等号成立的条件是x=e.

故g(x)的值域是[2e,+∞),

因而只需m≥2e,

则g(x)=m就有零点.

法二　解方程g(x)=m,

得x²-mx+e²=0.

此方程有大于零的根,故

等价于

故m≥2e.

即m的取值范围为[2e,+∞).

(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,

即函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)、f(x)的图象.

∵f(x)=-x²+2ex+t-1

=-(x-e)²+t-1+e².

∴其对称轴为x=e,开口向下,最大值为t-1+e².

故当t-1+e²>2e,

即t>-e²+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,

即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.

∴t的取值范围是(-e²+2e+1,+∞).