Question

1．已知函数f（x）=$\frac{ax+1}{{x}^{2}+b}$是偶函数，则a=0，b的取值范围是b∈R．

Answer 1

分析 利用偶函数的定义建立方程f（-x）=f（x），然后求解a．函数f（x）=$\frac{ax+1}{{x}^{2}+b}$是偶函数，所以b≤0．

解答 解：因为函数f（x）=$\frac{ax+1}{{x}^{2}+b}$是偶函数，所以f（-x）=f（x），
即$\frac{-ax+1}{{x}^{2}+b}$=$\frac{ax+1}{{x}^{2}+b}$，即-ax+1=ax+1，所以a=0．
函数f（x）=$\frac{ax+1}{{x}^{2}+b}$是偶函数，所以b∈R．
故答案为0，b∈R．

点评 本题考查了函数奇偶性的应用，函数奇偶性的应用主要是通过定义，构建一个条件方程f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），或者是利用函数奇偶性的运算性质来判断的．