Question

已知球O与球P在棱长为1正方体内外切，球O与球P至少与正方体的三个面相切，且正方体的中心在线段OP上．
（1）求两球的半径之和；
（2）求两球面积之和的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用球O与球P在棱长为1正方体内外切，球O与球P至少与正方体的三个面相切，可求两球的半径之和；
（2）表示出两球面积之和，利用配方法，可求最大值和最小值．

解答：解：（1）设球O、球P的半径分别是r₁、r₂．
∵( 

3

+1 ) r1+( 

3

+1 ) r2=( 

3

+1 ) ( r1+r2 )=

3

，
∴r₁+r₂=

3- 3

2

．
（2）记a=

3- 3

2

．
∴S=4 π ( 

r

2 1

+

r

2 2

 )=4 π ( 2 

r

2 1

-2 a r1+a2 )=8π[（r₁-

a

2

）²+

1

4

a²]，
∵

2- 3

2

≤r₁≤

1

2

，
∴当r₁=

3- 3

4

时，Smin=3 ( 2-

3

 ) π；当r₁=

2- 3

2

，或r₁=

1

2

时，Smax=4 ( 2-

3

 ) π．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．