椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的上顶点为A.P($\frac{4\sqrt{2}}{3}$.$\frac{b}{3}$)是椭圆C上的一点.以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F2．(1)求椭圆C的方程,(2)设F1为椭圆C的左焦点.过右焦点F2的直线l与椭圆C交于不同两点M.N.记△F1MN的内� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{b}{3}$）是椭圆C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F₁为椭圆C的左焦点，过右焦点F₂的直线l与椭圆C交于不同两点M、N，记△F₁MN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值．

分析（1）由椭圆的上顶点为A，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F₂．P（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{b}{3}$）是椭圆C上的一点，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线l的方程为x=my+$\sqrt{2}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得$（{m}^{2}+2）{y}^{2}+2\sqrt{2}my-2=0$，由此利用韦达定理、椭圆定义、要使内切圆面积S最大，只需要求△F₁MN的面积S′最大，结合已知条件能求出当S取最大值时直线l的方程，并能求出最大值．

解答解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点为A，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F₂．
∴F₂（c，0），A（0，b），P（$\frac{4\sqrt{2}}{3}，\frac{b}{3}$），
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}•\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（-c，b）•（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$-c，$\frac{b}{3}$）=c²-$\frac{4\sqrt{2}}{3}c$+$\frac{{b}^{2}}{3}$=0，
∵P（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{b}{3}$）是椭圆C上的一点，
∴$\frac{32}{9{a}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{9{b}^{2}}=1$，解得a=2，
∵a²=b²+c²，解得c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）由题意直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=my+$\sqrt{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得$（{m}^{2}+2）{y}^{2}+2\sqrt{2}my-2=0$，
y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-2}{{m}^{2}+2}$，
设内切圆的半径为r，△F₁MN的周长为C，面积为S′，
∵S′=$\frac{1}{2}Cr$，
由椭圆定义得C=4a=8，∴S′=4r，
要使内切圆面积S最大，只需要求△F₁MN的面积S′最大，
△F₁MN的面积为：
S′=$\frac{1}{2}×2c×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\sqrt{2}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{2[（\frac{-2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}）^{2}-4•\frac{-2}{{m}^{2}+2}]}$=$\frac{4\sqrt{2}•\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，t≥1．
S′=$\frac{4\sqrt{2}t}{{t}^{2}+1}$=$\frac{4\sqrt{2}}{t+\frac{1}{t}}$$≤2\sqrt{2}$，
当且仅当t=1，即m=0时取等号，
此时r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S=πr²=$\frac{π}{2}$，
直线l的方程为x=$\sqrt{2}$．