Question

20．已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），A，B在曲线C上，且A，B两点的极坐标分别为A（ρ₁，$\frac{π}{6}$），B（ρ₂，$\frac{2π}{3}$）．
（I）把曲线C的参数方程化为普通方程和极坐标方程；
（Ⅱ）求线段AB的长度．

Answer 1

分析 （I）把曲线C的参数方程化为普通方程和极坐标方程；
（Ⅱ）求线段AB的长度．

解答 解：（I）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∵x=ρcosθ，x=ρsinθ，代入普通方程得$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{cos^2θ}{12}$+$\frac{sin^2θ}{4}$，
（Ⅱ）把极坐标A（ρ₁，$\frac{π}{6}$），B（ρ₂，$\frac{2π}{3}$）代入C的极坐标方程$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{cos^2θ}{12}$+$\frac{sin^2θ}{4}$，得
${{ρ}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{\frac{cos^2\frac{π}{6}}{12}+\frac{sin^2\frac{π}{6}}{4}}$=8，${{ρ}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{\frac{cos^2\frac{2π}{3}}{12}+\frac{sin^2\frac{2π}{3}}{4}}$=$\frac{24}{5}$，
则线段AB的长度|AB|=$\sqrt{{{ρ}_{1}}^{2}+{{ρ}_{2}}^{2}-2{ρ}_{1}{ρ}_{2}cos（\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}）}$=$\sqrt{8+\frac{24}{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查参数方程，极坐标方程和普通方程之间的关系，根据对应的转化法则是解决本题的关键．