Question

4．已知函数$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，-\frac{π}{2}≤φ＜\frac{π}{2}}）$的最大值为$\sqrt{2}$，图象关于$x=\frac{π}{3}$对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（1）求f（x）的解析式，并写出f（x）的单调增区间．
（2）若把f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位，横坐标伸长为原来的2倍得y=g（x）图象当x∈[0，1]时，试证明，g（x）≥x．

Answer 1

分析 （1）根据函数$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，-\frac{π}{2}≤φ＜\frac{π}{2}}）$的最大值为$\sqrt{2}$，图象关于$x=\frac{π}{3}$对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，求出相应的参数，即可求f（x）的解析式，并写出f（x）的单调增区间．
（2）当x∈[0，1]时，要证g（x）≥x，即证$sinx≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，令$φ（x）=sinx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，x∈[0，1]，确定函数的单调性，求最值，即可证明结论．

解答 （1）解：∵$A=\sqrt{2}$，$T=π=\frac{2π}{ω}$，∴ω=2
又∵$\frac{2π}{3}+φ=kπ-\frac{π}{2}（{k∈Z}）$
而$φ∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，∴$φ=-\frac{π}{6}$，∴$f（x）=\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{6}}）$
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，（k∈Z）∴$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，（k∈Z）
则f（x）的增区间为$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]$，（k∈Z）
（2）证明：∵$g（x）=\sqrt{2}sinx$
当x∈[0，1]时，要证g（x）≥x，即证$sinx≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$
令$φ（x）=sinx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，x∈[0，1]，
∵$φ'（x）=cosx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
当φ'（x）=0，得$x=\frac{π}{4}$
当$x∈[{0，\frac{π}{4}}）$时，φ'（x）＞0，即φ（x）递增$x∈（{\frac{π}{4}，1}]$时，φ'（x）＜0，即φ（x）递减，
∴$φ{（x）_{max}}=min\left\{{φ（0），φ（1）}\right\}=min\left\{{0，sin1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\right\}=0$，
则φ（x）≥0，即$sinx≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，
故g（x）≥x．

点评 本题考查三角函数解析式的确定，考查三角函数的图象与性质，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．