Question

20．已知函数f（x）=2sinωx•cosωx$-\sqrt{3}+2\sqrt{3}{sin^2}ωx（ω＞0）$的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在区间[0，20]上零点的个数．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，求得f（x）的单调增区间．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，结合正弦函数的图象可得y=g（x）在区间[0，20]上零点的个数．

解答 解：（1）∵f（x）=2sinωx•cosωx-$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin²ωx=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$），
对于$f（x）=2sin（2ωx-\frac{π}{3}）$，因为最小正周期$T=π=\frac{2π}{2ω}$，∴ω=1，∴$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$$2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，解得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5}{12π}$，k∈Z，
可得f（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5}{12π}]$（k∈Z）．
（2）把$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向下平移1个单位，
可得g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]-1=2sin2x-1，
令g（x）=0，得sin2x=$\frac{1}{2}$，得 2x=2kπ+$\frac{π}{6}$，或2x=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴x=kπ+$\frac{π}{12}$，或x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
所以g（x）在每个周期上恰有两个零点，而g（x）在[0，20π]恰有20个周期，所以有40个零点．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的零点，属于中档题．