给出下列命题:①把函数y=sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍.纵坐标不变.得到函数y=sin,②若α.β是第一象限角且α＜β.则cosα＞cosβ,③x=-$\frac{π}{8}$是函数y=cos的一条对称轴,④函数y=4sin与函数y=4cos相同,⑤y=2sin在[0.$\frac{π}{2}$]是增函数,则正确命题的序号①③④� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．给出下列命题：
①把函数y=sin（x-$\frac{π}{3}$）图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
②若α，β是第一象限角且α＜β，则cosα＞cosβ；
③x=-$\frac{π}{8}$是函数y=cos（2x+$\frac{5}{4}$π）的一条对称轴；
④函数y=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）与函数y=4cos（2x-$\frac{π}{6}$）相同；
⑤y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）在[0，$\frac{π}{2}$]是增函数；
则正确命题的序号①③④．

分析利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象性质，以及它的图象的变换规律，正弦函数单调性、图象的对称性，得出结论．

解答解：对于①，把函数y=sin（x-$\frac{π}{3}$）图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$），故①正确．
对于②，当α，β是第一象限角且α＜β，如α=30°，β=390°，则此时有cosα=cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故②错误．
对于③，当x=-$\frac{π}{8}$时，2x+$\frac{5}{4}$π=π，函数y=cos（2x+$\frac{5}{4}$π）=-1，为函数的最小值，故x=-$\frac{π}{8}$是函数y=cos（2x+$\frac{5}{4}$π）的一条对称轴，故③正确．
对于④，函数y=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）=4cos[$\frac{π}{2}$-（2x+$\frac{π}{3}$）]=4cos（$\frac{π}{6}$-2）=4cos（2x-$\frac{π}{6}$），
故函数y=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）与函数y=4cos（2x-$\frac{π}{6}$）相同，故④正确．
对于⑤，在[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，函数y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）在[0，$\frac{π}{2}$]上没有单调性，故⑤错误，
故答案为：①③④．

点评本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象性质，以及它的图象的变换规律，正弦函数单调性、图象的对称性，属于基础题．