Question

20．已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{AF}=-4\overrightarrow{BF}$，求直线AB的方程；
（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：设直线AB的方程为AB方程为y=k（x-1）．，代入抛物线方程，由韦达定理、$\overrightarrow{AF}=-4\overrightarrow{BF}$，即可求得直线AB的斜率；
（Ⅱ）四边形OACB面积S_OACB=2S_AOB=$\frac{1}{2}$丨OF丨•丨y₁-y₂丨，可得当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{AF}=-4\overrightarrow{BF}$，∴直线AB的斜率一定存在，设为k，AB方程为y=k（x-1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$消y知：k²x²-（2k²+4）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=1
∵$\overrightarrow{AF}=-4\overrightarrow{BF}$，∴x₁=5-4x₂，
∴x₁•x₂=（5-4x₂）•x₂=1，∴x₂=$\frac{1}{4}$或x₂=1（舎）
∴x₁=4，
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=$\frac{17}{4}$，∴k=±$\frac{4}{3}$．
∴直线AB的方程为y=$±\frac{4}{3}$（x-1）；
（Ⅱ）∵点C与点O关于点M对称，∴M为OC中点
∴点C与点O到直线AB的距离相等
∴四边形OACB面积S_OACB=2S_AOB=$\frac{1}{2}$丨OF丨•丨y₁-y₂丨
设直线AB方程为：x=my+1
由直线与抛物线联立，消x整理得：y²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，∴${S_{四边形OACB}}=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=4\sqrt{{m^2}+1}≥4$
即当m=0时，四边形OACB的面积最小为4．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标坐标，三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．