Question

5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的两条渐近线的夹角为$\frac{π}{3}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 双曲线双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的渐近线方程是y=$±\frac{\sqrt{2}}{a}x$，由题设条件可知$\frac{\sqrt{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，从而求出a的值，进而求出双曲线的离心率．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的渐近线方程是y=$±\frac{\sqrt{2}}{a}x$
∴由双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的两条渐近线的夹角为$\frac{π}{3}$，
可知$\frac{\sqrt{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴a²=6，c²=8，∴双曲线的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选B．

点评 本题考查双曲线的性质及其应用，解题的关键是由渐近线的夹角求出a．