Question

16．椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），F（$\sqrt{2}$，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．

Answer 1

分析 利用F（$\sqrt{2}$，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，建立方程组，求解即可得椭圆方程．

解答 解：∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），F（$\sqrt{2}$，0）为其右焦点，
过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{2}}\\{\frac{2{b}^{2}}{a}=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=2，c²=2，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的标准方程问题，常可利用联立方程进而求解的方法，是中档题．