题目内容
2．在△ABC中，周长为36cm，且sinA：sinB：sinC=5：6：7，下列结论：①a：b：c=5：6：7
②a：b：c=$\sqrt{5}$：$\sqrt{6}$：$\sqrt{7}$
③a=10cm，b=12cm，c=14cm
④A：B：C=5：6：7
其中成立的个数是（ ）
| A． | 0个 | B． | 1个 | C． | 2个 | D． | 3个 |
分析 由已知及正弦定理可得a：b：c=5：6：7，可得①成立；设a=5x，b=6x，c=7x，可得：5x+6x+7x=36，解得a，b，c可得②不成立，③成立；由余弦定理可求cosB=$\frac{19}{35}$，可得B≠$\frac{π}{3}$，若A：B：C=5：6：7，可得B=$\frac{π}{3}$，矛盾，可得④不成立．
解答 解：∵sinA：sinB：sinC=5：6：7，
∴由正弦定理可得：a：b：c=5：6：7，故①成立；
∵△ABC中，周长为36cm，设a=5x，b=6x，c=7x，可得：5x+6x+7x=36，
∴解得：a=10cm，b=12cm，c=14cm，故②不成立，③成立；
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{19}{35}$，
∴可得：B≠$\frac{π}{3}$，
∵若A：B：C=5：6：7，设A=5y，B=6y，C=7y，则5y+6y+7y=π，可得y=$\frac{π}{18}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，矛盾，故④不成立．
故选：C．
点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，比例的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
练习册系列答案
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如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（3，1）在椭圆上，△PF1F2的面积为2$\sqrt{2}$．
在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，AB=A1A=a，BA1=AC，A1C⊥AB．
14．随机变量ξ的分布列如表，则m（ ）
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | $\frac{1}{4}$ | $\frac{2}{5}$ | m | $\frac{1}{10}$ |
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{1}{5}$ |
如图，从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中选出的4个点恰为一个正四面体的顶点．