Question

13．已知函数y=f（x）在R上的导函数f′（x），?x∈R都有f′（x）＜x，若f（4-m）-f（m）≥8-4m，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [-2，2]
• B． [2，+∞）
• C． [0，+∞）
• D． （-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 根据构造辅助函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4-m）-f（m）≥8-4m，即g（4-m）≥g（m），可得 4-m≤m，由此解得a的范围．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，x∈R
g′（x）=f′（x）-x＜0，
∴故函数g（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
∴f（4-m）-f（m）=g（4-m）+$\frac{1}{2}$（4-m）²-g（m）-$\frac{1}{2}$m²，
=g（4-m）-g（m）+8-4m≥8-4m，
∴g（4-m）≥g（m），
∴4-m≤m，解得：m≥2，
故选：B．

点评 本题考查利用导数求函数的单调性，会根据已知条件构造辅助函数，考查分析问题解决问题的能力，难度比较大，属于中档题．