Question

4．已知函数f（x）=x²-x+k，且log₂f（a）=2，f（log₂a）=k，a＞0，且a≠1
（1）求a，k的值；
（2）当x为何值时，f（log_ax）有最小值？求出该最小值．

Answer 1

分析 （1）先表示f（2），由log₂f（2）=2可求得k值；根据f（log₂a）=k可得a的方程，利用对数的运算性质可得a值；
（2）由（1）知a=2，把f（log_ax）转化为关于log₂x的二次函数，利用二次函数的性质可得答案

解答 解：（1）∵f（x）=x²-x+k，
∴f（2）=2+k，∴log₂（2+k）=2，解得k=2；
∵f（log₂a）=k，∴log₂a（log₂a-1）=0，
∵a＞0，且a≠1，∴log₂a=1，解得a=2；
所以a=2，k=2，
（2）f（log_ax）=f（log₂x）=（log₂x）²-log₂x-2=（log₂x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$．
所以当log₂x=$\frac{1}{2}$，即x=$\sqrt{2}$时，f（log_ax）有最小值$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查复合函数的单调性、对数函数及二次函数的性质，属中档题．