Question

5．已知离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点A（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若不过点A的直线l：y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$x+m交椭圆E于B，C两点，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据$\frac{c}{a}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，设$a=\sqrt{2}n$，c=n，则b=n，椭圆E的方程为$\frac{x^2}{{2{n^2}}}+\frac{y^2}{n^2}=1$，代入点A的坐标解出即可；
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．直线l：y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$x+m代入椭圆方程并化简，再利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）因为$\frac{c}{a}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，所以设$a=\sqrt{2}n$，c=n，则b=n，椭圆E的方程为$\frac{x^2}{{2{n^2}}}+\frac{y^2}{n^2}=1$．
代入点A的坐标得$\frac{1}{{2{n^2}}}+\frac{1}{{2{n^2}}}=1$，n²=1，所以椭圆E的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）设点B，C的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+m\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$得${x^2}+2（\frac{1}{2}{x^2}+\sqrt{2}mx+{m^2}）=2$，
即${x^2}+\sqrt{2}mx+{m^2}-1=0$，${x_1}+{x_2}=-\sqrt{2}m$，${x_1}•{x_2}={m^2}-1$…（6分）
△=2m²-4（m²-1）＞0，m²＜2．…（7分）
$|{BC}|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}$=$\sqrt{\frac{3}{2}[{2{m^2}-4（{m^2}-1）}]}$=$\sqrt{\frac{3}{2}（4-2{m^2}）}$，
点A到直线l的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{\frac{3}{2}}}}$，…（9分）
△ABC的面积$S=\frac{1}{2}|{BC}|•d$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}（4-2{m^2}）}•\frac{|m|}{{\sqrt{\frac{3}{2}}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}\sqrt{{m^2}（2-{m^2}）}$…（11分）$≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{{{m^2}+2-{m^2}}}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，当且仅当m²=2-m²，即m²=1时等号成立．
所以当m=±1时，△ABC面积的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．