Question

3．已知函数f（x）=（x+1）e^2x，g（x）=aln（x+1）+$\frac{3}{4}$x²+（3-a）x+a（a∈R）．
（1）当a=9，求函数y=g（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）令h（x）=（x+1）e^2x-aln（x+1）-$\frac{3}{4}$x²-（3-a）x-a，通过讨论a的范围，求出函数的导数，结合函数的单调性求出a的具体范围即可．

解答 解：（1）a=9时，g（x）=9ln（x+1）+$\frac{3}{4}$x²-6x+9，
g′（x）=$\frac{3{（x}^{2}-3x+2）}{2（x+1）}$，（x＞-1），
由g′（x）＞0，解得：-1＜x＜1或x＞2，
由g′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴g（x）在（-1，1）递增，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增；
（2）由f（x）≥g（x），得：（x+1）e^2x≥aln（x+1）+$\frac{3}{4}$x²+（3-a）x+a，
令h（x）=（x+1）e^2x-aln（x+1）-$\frac{3}{4}$x²-（3-a）x-a，
①a≥0时，h′（x）=（2x+3）e^2x-$\frac{a}{x+1}$-$\frac{3}{2}$x+（a-3），
1°，x=0时，h′（x）=0，
2°，x∈（-1，0）时，h′（x）＜（2x+3）e^2x-$\frac{a}{x+1}$-2x+（a-3）=（2x+3）（e^2x-1）+a（1-$\frac{1}{x+1}$）＜0，
3°，x∈（0，+∞）时，h′（x）＞（2x+3）e^2x-$\frac{a}{x+1}$-2x+（a-3）=（2x+3）（e^2x-1）+a（1-$\frac{1}{x+1}$）＞0，
∴h（x）在（-1，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴h（x）的最小值是h（0）=1-a，
则$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{1-a≥0}\end{array}\right.$，解得：0≤a≤1；
②a＜0时，x∈（-1，0）时，f（x）∈（0，1），即f（x）＜1，
而对于函数g（x），不妨令x=-1+${e}^{\frac{4-2a}{a}}$，
有g（x）=aln（x+1）+$\frac{3}{4}$x²+（3-a）x+a＞aln（x+1）+2a-3=aln（-1+${e}^{\frac{4-2a}{a}}$+1）+2a-3=1，
故在（-1，0）内存在-1+${e}^{\frac{4-2a}{a}}$，使得g（x）＞f（x），f（x）≥g（x）b不恒成立，
综上，a的范围是[0，1]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．