Question

8．函数f（x）=2^x+2-3×4^x，x∈（-∞，1）的值域为（-4，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 配方化简函数的表达式，设2^x=t，t∈（0，2），利用二次函数的性质，根据t的范围即可得出y的最大、最小值，从而得出原函数的值域．

解答 解：f（x）=2^x+2-3×4^x，=4×2^x-3×（2^x）²=-3（2^x-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{4}{3}$；
x∈（-∞，1）；
∴2^x∈（0，2），令2^x=t，t∈（0，2），则y=-3（t-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{4}{3}$；
∴t=$\frac{2}{3}$时，y取最大值$\frac{4}{3}$，t=2时，y取最小值-4；因为t＜2，所以y＞-4
∴-4＜y≤$\frac{4}{3}$；
故答案为：（-4，$\frac{4}{3}$]．

点评 考查函数值域的概念及求法，配方法处理二次式子，换元求函数值域的方法，注意确定换元后引入新变量的范围，以及二次函数值域的求法．