Question

18．已知点P是抛物线x=$\frac{1}{4}$y²上的一个动点，则点P到点A（-1，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}-1$
• C． $\sqrt{5}-1$
• D． $\sqrt{5}+1$

Answer 1

分析 设P点在曲线y²=4x上的准线l：x=-1上的射影为M，曲线y²=4x的焦点为F，利用抛物线的定义将点P到准线的距离转化为点P到焦点的距离，利用不等式的性质即可得到答案．

解答 解：∵y²=4x的准线方程为：x=-1，
设曲线y²=4x的焦点为F，则F（1，0），设曲线y²=4x上的动点P（x₀，y₀），
P点在曲线y²=4x上的准线l：x=-1上的射影为M，由抛物线的定义可知，|PM|=|PF|，
又A（-1，2），
∴|AF|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴|PA|+|PM|=|PA|+|PF|≥|AF|=2$\sqrt{2}$．
∴点P到点A（-1，2）的距离与点P到x=-1的距离之和的最小值为2$\sqrt{2}$，
∴点P到点A（-1，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为2$\sqrt{2}$-1．
故选：B．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，利用抛物线的定义将点P到准线的距离转化为点P到焦点的距离是关键，属于中档题．