Question

2．设函数$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）-2\sqrt{3}sinxcosx+m$，
（Ⅰ）若$f（\frac{π}{12}）=1$，求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接把x=$\frac{π}{12}$代入函数解析式求得m值；
（Ⅱ）首先展开两角差的余弦，整理后利用两角和的余弦化积，则函数的周期可求，再由相位在余弦函数的增区间内求得x的取值范围得函数的单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）由$f（\frac{π}{12}）=cos（2•\frac{π}{12}-\frac{π}{3}）-2\sqrt{3}sin\frac{π}{12}cos\frac{π}{12}+m=1$，
得$cos（-\frac{π}{6}）-\sqrt{3}sin\frac{π}{6}+m=1$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+m=1$，得m=1；
（Ⅱ）∵$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）-2\sqrt{3}sinxcosx+m=（\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x）-\sqrt{3}sin2x+m$
=$\frac{1}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+m=cos（2x+\frac{π}{3}）+m$，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
令$2x+\frac{π}{3}∈[2kπ+π，2kπ+2π]$，其中k∈Z，解得：$x∈[{kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{5π}{6}}]$，
因此函数f（x）的单调增区间为$[{kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{5π}{6}}]$，k∈Z．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Acos（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了两角和与差的余弦的应用，是中档题．