题目内容
某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf（x），其中f（x）=
，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化．
（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围．
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（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围．
分析：（1）由题设：投放的药剂质量为m=4，自来水达到有效净化等价于4f（x）≥6，利用分段函数，建立不等式，即可求得结论；
（2）由题意，?x∈（0，7]，6≤mf（x）≤18，m＞0，由函数y是分段函数，故分段建立不等式组，从而解出m的值．
（2）由题意，?x∈（0，7]，6≤mf（x）≤18，m＞0，由函数y是分段函数，故分段建立不等式组，从而解出m的值．
解答：解：（1）由题设：投放的药剂质量为m=4，自来水达到有效净化等价于4f（x）≥6…（2分）
∴f（x）≥
，
∴
或
…（4分）
∴0＜x≤6，
亦即：如果投放的药剂质量为m=4，自来水达到有效净化一共可持续6天； …（8分）
（2）由题设：?x∈（0，7]，6≤mf（x）≤18，m＞0，…（10分）
∵f（x）=
，
∴?x∈（0，4]，6≤mlog2（x+4）≤18，且?x∈（4，7]，6≤
≤18，…（12分）
∴
且
，…（14分）
∴5≤m≤6，
亦即：投放的药剂质量m的取值范围为[5，6]．…（16分）
∴f（x）≥
| 3 |
| 2 |
∴
|
|
∴0＜x≤6，
亦即：如果投放的药剂质量为m=4，自来水达到有效净化一共可持续6天； …（8分）
（2）由题设：?x∈（0，7]，6≤mf（x）≤18，m＞0，…（10分）
∵f（x）=
|
∴?x∈（0，4]，6≤mlog2（x+4）≤18，且?x∈（4，7]，6≤
| 6m |
| x-2 |
∴
|
|
∴5≤m≤6，
亦即：投放的药剂质量m的取值范围为[5，6]．…（16分）
点评：本题考查了分段函数模型的灵活应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
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