Question

2．已知奇函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）=x（1-x），则f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），x＜0}\\{0，x=0}\\{x（1+x），x＞0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据题意，先由奇函数的性质可得f（0）=0，再设x＞0，则-x＜0，由函数的解析式可得f（-x）=（-x）[1-（-x）]=-x（1+x），结合函数的奇偶性可得x＞0时，f（x）的解析式，综合三种情况即可得答案．

解答 解：根据题意，f（x）是定义域为R的奇函数，则有f（0）=0，
设x＞0，则-x＜0，
则f（-x）=（-x）[1-（-x）]=-x（1+x），
又由f（x）是奇函数，则有f（-x）=-f（x），
则有x＞0时，f（x）=-f（-x）=x（1+x），
综合可得：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），x＜0}\\{0，x=0}\\{x（1+x），x＞0}\end{array}\right.$；
故答案为：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），x＜0}\\{0，x=0}\\{x（1+x），x＞0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数解析式的求法，利用函数奇偶性的对称性是解决本题的关键，不能忽略f（0）=0．