题目内容

设直线l1：y=k1x+1，l2：y=k2x-1，其中实数k1，k2满足k1k2+2=0
（1）证明l1与l2相交；
（2）证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上．
（1）假设两条直线平行，则k1=k2
∴k1•k2+2=k12+2=0无意义，矛盾
所以两直线不平行
故l1与l2相交
（2）由
y=k1x+1
y=k2x-1
得
x=
2
k2-k1
y=
k2+k1
k2-k1

2x2+y2=
k22+k12+2k1•k2+8
(k2-k1)2

∵k1•k2+2=0
∴
k22+k12+2k1•k2+8
(k2-k1)2
=1
故l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆┍的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），点P的坐标为（-a，b）．
（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，-b），B（a，0）满足
PM
=
1
2
（
PA
+
PB
），求点M的坐标；
（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=-
b2
a2
，证明：E为CD的中点；
（3）对于椭圆┍上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P1、P2满足
PP1
+
PP2
=
PQ
，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值范围．
已知椭圆Γ的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A（0，b）、B（0，-b）和Q（a，0）为Γ的三个顶点．
（1）若点M满足
AM
=
1
2
(
AQ
+
AB
)，求点M的坐标；
（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=-
b2
a2
，证明：E为CD的中点；
（3）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足
PP1
+
PP2
=
PQ
PP1
+
PP2
=
PQ
？令a=10，b=5，点P的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点P1、P2满足
PP1
+
PP2
=
PQ
，求点P1、P2的坐标．
设直线l1：y=k1x+1，l2：y=k2x-1，其中实数k1，k2满足k1k2+2=0．证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上．
设直线l1：y=k1x+1，l2：y=k2x-1，其中实数k1，k2满足k1k2+1=0．
（Ⅰ）证明：直线l1与l2相交；
（Ⅱ）证明：直线l1与l2的交点在圆x2+y2=1上．
（2013•青浦区一模）设直线L1：y=k1x+p，p≠0交椭圆Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）于C、D两点，交直线L2：y=k2x于点E．
（1）若E为CD的中点，求证：k1•k2=-
b2
a2
；
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；
（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．

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