Question

18．在△ABC中，角C=$\frac{π}{3}$，边AB=1，则△ABC周长不可能是下列哪个数值（　　）

• A． 3
• B． 1+$\sqrt{3}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 由正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，再由两角和差的正弦公式，结合正弦函数的性质，计算即可得到所求范围．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{3}}$，
即有a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，
则△ABC周长L=a+b+c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+1
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinB）+1
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]+1
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）+1
=2sin（A+$\frac{π}{6}$）+1，
由0＜A＜$\frac{2π}{3}$，可得：$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，解得：$\frac{1}{2}$＜sin（A+）≤1
解得：2sin（A+$\frac{π}{6}$）+1∈（2，3]．
故选：D．

点评 本题考查正弦定理的运用，两角和差的正弦、余弦公式和余弦函数的性质的运用，考查运算能力，属于中档题．