Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=18；数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n+

1

2

b_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）当n=1时，b₁=T₁；当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1可得b_n与b_n-1的关系，再利用等比数列的定义即可证明．

解答：（1）解：设{a_n}的公差为d，∵a₂=6，a₅=18；则

a1+d=6 a1+4d=18

，解得

a1=2 d=4.

∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
（2）证明：当n=1时，b₁=T₁，由T1+

1

2

b1=1，得b1=

2

3

；
当n≥2时，∵Tn=1-

1

2

bn，Tn-1=1-

1

2

bn-1，
∴Tn-Tn-1=

1

2

(bn-1-bn)．
∴bn=

1

2

(bn-1-bn)．化为bn=

1

3

bn-1．
∴数列{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、利用“当n=1时，b₁=T₁；当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1”可得b_n与b_n-1的关系、等比数列的定义等基础知识与基本技能方法，属于中档题．