Question

12．若数列{a_n}满足$\frac{{{a_{n+1}}}}{2n+5}$-$\frac{a_n}{2n+3}$=1，且a₁=5，则数列{a_n}的前100项中，能被5整除的项数为（　　）

• A． 42
• B． 40
• C． 30
• D． 20

Answer 1

分析 由$\frac{{a}_{n+1}}{2（n+1）+3}$-$\frac{a_n}{2n+3}$=1，数列{$\frac{a_n}{2n+3}$}是以$\frac{{a}_{1}}{2×1+3}$=1为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列通项公式$\frac{a_n}{2n+3}$=n，求得a_n=2n²+3n，由通项公式分别求得每10项，有4项能被5整除，即可得到数列{a_n}的前100项中，能被5整除的项数．

解答 解：由数列{a_n}满足$\frac{{{a_{n+1}}}}{2n+5}$-$\frac{a_n}{2n+3}$=1，即$\frac{{a}_{n+1}}{2（n+1）+3}$-$\frac{a_n}{2n+3}$=1，
∴$\frac{{a}_{1}}{2×1+3}$=1，
∴数列{$\frac{a_n}{2n+3}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴$\frac{a_n}{2n+3}$=n，
∴a_n=2n²+3n，
由题意可知：

项	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
个位数	5	4	7	4	5	0	9	2	9	0

∴每10中有4项能被5整除，
∴数列{a_n}的前100项中，能被5整除的项数40，
故答案选：B．

点评 本题考查求通项公式的方法，考查等差数列通项公式，考查数列的周期性，考查转化思想，属于中档题．