Question

12．将边长分别为1、2、3、4、…、n、n+1、…（n∈N^*）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形．由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、…、第n个阴影部分图形．设前n个阴影部分图形的面积的平均值为f（n）．记数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}f（n）\;\;当n为奇数\\ f（{a_n}）当n为偶数\end{array}$．
（1）求f（n）的表达式；
（2）写出a₂、a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式．
（3）记$|\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}|$=ad-bc．若b_n=a_n+s（s∈R），且$|\begin{array}{l}{{b}_{n}}&{{b}_{n+2}}\\{{b}_{n+1}}&{{b}_{n+1}}\end{array}|$＜0恒成立，求s的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出第1个阴影部分图形的面积为2²-1²，第2个阴影部分图形的面积为4²-3²，…，第n个阴影部分图形的面积为（2n）²-（2n-1）²．然后求解f（n）即可．
（2）利用a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}f（n）\;\;当n为奇数\\ f（{a_n}）当n为偶数\end{array}$．通过n为偶数时，n为大于1的奇数时，求解数列的通项公式a_n．
（3）由（2）知 b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1+s，n=1}\\{2n-1+s，n为偶数}\\{4n-5+s，n为大于1的奇数}\end{array}\right.$，利用行列式转化$|\begin{array}{l}{{b}_{n}}&{{b}_{n+2}}\\{{b}_{n+1}}&{{b}_{n+1}}\end{array}|$＜0恒成立?b_n+1b_n-b_n+1b_n+2=b_n+1（b_n-b_n+2）＜0恒成立，通过（ⅰ） 当n=1时，推出s＞-3，（ⅱ）当n为偶数时，推出 s＞-7  （ⅲ）当n为大于1的奇数时，s＞-7 推出结果．

解答 （本题满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分（2分），第2小题满分（3分），第2小题满分（5分）．
解：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为2²-1²，第2个阴影部分图形的面积为4²-3²，…，第n个阴影部分图形的面积为（2n）²-（2n-1）²．
故f（n）=$\frac{（{2}^{2}-{1}^{2}）+（{4}^{2}-{3}^{2}）+…+[（2n）^{2}-（2n-1）^{2}]}{n}$=$\frac{1+2+3+4+…+（2n-1）+2n}{n}$=2n+1   （2分）
（2）a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}f（n）\;\;当n为奇数\\ f（{a_n}）当n为偶数\end{array}$．
a₁=1，a₂=f（1）=3，a₃=f（a₂）=2×3+1=7   （3分）
当n为偶数时，a_n=f（n-1）=2n-1   （4分）
当n为大于1的奇数时，a_n=f（a_n-1）=2a_n-1+1=2[2（2n-1）-1]+1=4n-5
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-1，n为偶数}\\{4n-5，n为大于1的奇数}\end{array}\right.$（5分）
（3）由（2）知 b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1+s，n=1}\\{2n-1+s，n为偶数}\\{4n-5+s，n为大于1的奇数}\end{array}\right.$   （6分）
又$|\begin{array}{l}{{b}_{n}}&{{b}_{n+2}}\\{{b}_{n+1}}&{{b}_{n+1}}\end{array}|$＜0恒成立?b_n+1b_n-b_n+1b_n+2=b_n+1（b_n-b_n+2）＜0恒成立
（ⅰ） 当n=1时，b_n+1（b_n-b_n+2）＜0恒成立，
即b₂（b₁-b₃）=（3+s）（-6）＜0恒成立，于是3+s＞0⇒s＞-3  （7分）
（ⅱ）当n为偶数时，b_n+1（b_n-b_n+2）＜0恒成立，
即[4（n+1）-5+s]-[（2n-1+s）-（2（n+2）-1+s）]=（4n-1+s）（-4）＜0恒成立，于是4n-1+s＞0恒成立，
 s＞（-4n+1）_min=-7  （8分）
（ⅲ）当n为大于1的奇数时，b_n+1（b_n-b_n+2）＜0恒成立
即[2（n+1）-1+s]-[（4n-5+s）-（4（n+2）-5+s）]=（2n+1+s）（-8）＜0 恒成立，于是2n+1+s＞0恒成立，
s＞（-2n-1）_min=-7  （9分）
综上所述：s＞-3．（10分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和以及数列通项公式的求法，函数与函数的综合应用，考查计算能力．