Question

15．已知向量$\overrightarrow{OP}$=（2cos（$\frac{π}{2}$+x），1），$\overrightarrow{OQ}$=（sin（$\frac{3π}{2}$-x），cos2x），定义函数f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$
（1）求函数f（x）的表达式，并指出其最值；
（2）已知$f（\frac{x}{2}）=\frac{1}{5}，x∈（-\frac{π}{2}，0），求f（-\frac{x}{2}）$．
（3）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积以及二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）；
（2）代入求值即可；
（3）由f（A）=1，根据第一问化简得到的函数的解析式，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，由三角形为锐角三角形得到满足题意的A的度数，可得出sinA的值，再由bc的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积S．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$
=（-2sinx，1）•（-cosx，cos2x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最大值和最小值分别是$\sqrt{2}$和-$\sqrt{2}$．
（2）∵x∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴cosx＞0＞sinx，
∵f（$\frac{x}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，
∴2sinxcosx=-$\frac{12}{25}$，
∴f（-$\frac{x}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（-x+$\frac{π}{4}$）=cosx-sinx=$\sqrt{（sinx+cosx）^{2}-4sinxcosx}$
=$\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{48}{25}}$=$\frac{7}{5}$；
（3）∵f（A）=1，
∴sin（2A+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴2A+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$或2A+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$．
∴A=$\frac{π}{4}$或A=0（舍）．
∵bc=8，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×8×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了平面向量的数量积运算，二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．