Question

9．设数列{a_n}是公比为正数的等比数列，a₁=2，a₃=a₂+4．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，设c_n=a_n+b_n，求数列{c_n }的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得到等比数列首项和公比的等式求出公比，得到通项公式；
（2）得到{a_n}和{b_n}的通项公式，求得{c_n}的通项公式，利用分组求和得到数列{c_n }的前n项和T_n．

解答 解：（1）由题意得${a_1}•{q^2}={a_1}•q+4$即2q²=2q+4
整理得q²-q-2=0解得q=2或-1∵数列{a_n}是公比为正数的等比数列∴q=2
$\begin{array}{l}∴{a_n}={a_1}•{q^{n-1}}=2•{2^{n-1}}={2^n}\\{S_n}=\frac{{{a_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}=2（{2^n}-1）={2^{n+1}}-2\end{array}$
（2）由（1）得${a_n}={2^n}$，
数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴b_n=2n-1，
∴c_n=a_n+b_n=2ⁿ+2n-1，
∴数列{c_n }的前n项和T_n=（2+2²+…+2ⁿ）+2（1+2+3+…+n）-n
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}+2×\frac{n（n+1）}{2}-n$=2ⁿ⁺¹+n²-2．

点评 本题考查了等差数列和等比数列通项公式的求法以及分组求和；属于经常考查题目．