Question

12．某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．

（1）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，
①求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，n∈N）的函数解析式；
②在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率．
（2）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决定依据，判断应该制作16个是17个？

Answer 1

分析 （1）①利用分段函数求出当n≥17时，当n≤16时的函数的解析式．②设当天的利润不低于750元为事件A，设当天需求量不低于18个为事件B，求出事件个数，然后求解概率．
（2）X表示当天的利润（单位：元），求出X的分布列，求出期望，蛋糕店一天制作16个，Y表示当天的利润（单位：元），Y的分布列，求出期望，半径利润即可．

解答 解：（1）①当n≥17时，y=17×（100-50）=850；
当n≤16时，y=50n-50（17-n）=100n-850．
得$y=\left\{{\begin{array}{l}{100n-850（{n≤16}）}\\{850（{n≥17}）}\end{array}（{n∈N}）}\right.$…（3分）
②设当天的利润不低于750元为事件A，
设当天需求量不低于18个为事件B，
由①得“利润不低于750元”等价于“需求量不低于16个”，则P（A）=0.7，$P（{B|A}）=\frac{{P（{AB}）}}{P（A）}=\frac{0.15+0.13+0.1}{0.7}=\frac{19}{35}$…（6分）
（2）蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕，理由如下：
若蛋糕店一天制作17个，X表示当天的利润（单位：元），X的分布列为

X	550	650	750	850
P	0.1	0.2	0.16	0.54

EX=550×0.1+650×0.2+750×0.16+850×0.54=764…（9分）
若蛋糕店一天制作16个，Y表示当天的利润（单位：元），Y的分布列为

Y	600	700	800
P	0.1	0.2	0.7

EY=600×0.1+700×0.2+800×0.7=760，…（11分）
由以上的计算结果可以看出，EX＞EY，即一天制作17个的利润大于制作16个的利润，
所以蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕…（12分）

点评 本题考查函数与方程的应用，概率的求法，分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．