Question

14．已知f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+5．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）过（0，a）可作y=f（x）的三条切线，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）设切点为（x₀，f（x₀）），表示出切线方程，求出a的表达式，通过求出求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
故，x∈（1，+∞），（-∞，-$\frac{2}{3}$）时，f（x）单调递增，$x∈（{-\frac{2}{3}，1}），f（x）$单调递减．…（4分）
（Ⅱ）过（0，a）可作y=f（x）的切线，
设切点为（x₀，f（x₀）），则切线的方程为：y-f（x₀）=f′（x₀）（x-x₀），
即$y-（{{x_0}^3-\frac{1}{2}{x_0}^2-2{x_0}+5}）=（{3{x_0}^2-{x_0}-2}）（{x-{x_0}}）$，
又（0，a）在切线上，
故$a-（{{x_0}^3-\frac{1}{2}{x_0}^2-2{x_0}+5}）=（{3{x_0}^2-{x_0}-2}）（{0-{x_0}}）$，
即$a=-2{x^3}_0+\frac{1}{2}{x^2}_0+5$．…（8分）
由已知得：y=a与$y=-2{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+5$有三个交点，
y'=-6x²+x，令y'=0，得${x_1}=0，{x_2}=\frac{1}{6}$，…（10分），
$（{-2{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+5}）{|_{x=0}}=5，（{-2{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+5}）{|_{x=\frac{1}{6}}}=5\frac{1}{216}$，
故a的取值范围为$（{5，5\frac{1}{216}}）$．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数的交点问题，是一道中档题．