正方体ABCD-A1B1C1D1中.E.F分别是BB1.CD的中点．(1)求AE与D1F所成的角,(2)证明:面AED⊥面A1FD1．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）求AE与D₁F所成的角；
（2）证明：面AED⊥面A₁FD₁．

分析（1）取AB中点G，连接A₁G，FG．证明D₁F⊥AE即可；
（2）欲证明：面AED⊥面A₁FD₁．根据面面垂直的判定定理知，只须证明线面垂直：D₁F⊥面AED，即得．

解答（1）解：取AB中点G，连接A₁G，FG．
因为F是CD的中点，所以GF$\stackrel{∥}{=}$AD，
又A₁D₁$\stackrel{∥}{=}$AD，
所以GF$\stackrel{∥}{=}$A₁D₁，
故GFD₁A₁是平行四边形，A₁G∥D₁F．
因为△A₁AG≌△ABE，所以A₁G⊥AE，
所以D₁F⊥AE．
即AE与D₁F所成的角是直角；
（2）证明∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体
∴AD⊥面DC₁，
又D₁F?面DC₁，
∴AD⊥D₁F，
∴AE⊥D₁F，
又AD∩AE=A，
∴D₁F⊥面AED，
又D₁F?面A₁FD₁，
∴面AED⊥面A₁FD₁

点评本题主要考查了异面直线及其所成的角、平面与平面垂直的判定，以及空间想象力、转化思想方法，属于中档题．

练习册系列答案

13．下列所给的对象能构成集合的是（　　）

	A．	2019 届的优秀学生		B．	高一数学必修一课本上的所有难题
	C．	遵义四中高一年级的所有男生		D．	比较接近 1 的全体正数

10．计算：
（Ⅰ）log₅25+lg$\frac{1}{100}$+ln$\sqrt{e}$+2${\;}^{{{log}_2}3}}$；
（Ⅱ）已知a${\;}^{\frac{1}{2}}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}}$=3（a∈R），求值：$\frac{{{a^2}+{a^{-2}}+1}}{{a+{a^{-1}}+1}}$．

17．若A={x|x²-ax+a²-19=0}，B={x|x²-5x+6=0}，C={x|x²+2x-8=0}．
（1）若A=B，求a的值；
（2）若B∩A≠∅，C∩A=∅，求a的值．

7．命题：“对任意 x＞0，e^x＞x+1”的否定是（　　）