Question

正三角形ABC在平面M内的射影是△DEF, DE＝7厘米, EF＝5厘米, FD＝厘米, 则△ABC的边长的平方为_______cm2.

Answer 1

答案：50
解析：

解: 如图, 设正三角形的边长为x, 并设AD＝a, BE＝b, CF＝c则由 AB2-(AD-BE)2＝DE2, 得    x2-(a-b)2＝49.        ① 同理  x2-(b-c)2＝25,        ② x2-(a-c)2＝14.        ③ 令    a-b＝u,   b-c＝v,   则    a-c＝u+v        ①￣③式化为 x2-u2＝49,       ④ x2-v2＝25,       ⑤ x2-(u+v)2＝14    ⑥ 由④—⑤、⑤—⑥分别得到 v2-u2＝24,⑦   u2+2uv＝11.⑧ ⑧×24-⑦×11, 得 35u2+48uv-11v2＝0, 即    (5u-v)(7u+11v)＝0    故    v＝5u,⑨ 或    v＝-u.⑩ 将⑨式代入⑦式, 得u2＝1, 再代入④式, 得x2＝50, 所以x＝5. 而将⑩式代入⑦式, 得u2＜0, 无实根. 所以本题有唯一解: 正三角形的 边长是5厘米.

提示：

用余弦定理