Question

11．已知二次函数f（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$．若不等式g（2^x）-k•2^x≥0对任意x∈[1，2]恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=a（x-1）²-a+1+br 对称轴方程为x=1，在区间[2，3]上递增，由此列出方程组能求出a，b，从而能求出f（x）的解析式．
（Ⅱ）由g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{1}{x}-2$，得${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}-2-k•{2}^{x}≥0$对任意x∈[1，2]时恒成立，从而只需k≤[（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-2（$\frac{1}{{2}^{x}}$）+1]_min，由此能求出k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵二次函数f（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0），
∴f（x）=a（x-1）²-a+1+b，
∴函数f（x）的图象的对称轴方程为x=1，
∵a＞0，∴f（x）=a（x-1）²-a+1+b在区间[2，3]上递增．
∵二次函数f（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，
∴依题意得$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=a-a+1+b=1}\\{f（3）=4a-a+1+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²-2x+1．…6 分
（Ⅱ）∵g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{1}{x}-2$，
∵不等式g（2^x）-k•2^x≥0对任意x∈[1，2]恒成立，
∴${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}-2-k•{2}^{x}≥0$对任意x∈[1，2]时恒成立，
∴k≤（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-2（$\frac{1}{{2}^{x}}$）+1对任意x∈[1，2]时恒成立
只需k≤[（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-2（$\frac{1}{{2}^{x}}$）+1]_min，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，由x∈[1，2]，得t∈[$\frac{1}{4}，\frac{1}{2}$]，
设h（t）=t²-2t+1，
∵h（t）=t²-2t+1=（t-1）²，
当t=$\frac{1}{2}$，即x=1时，h（t）取得最小值$\frac{1}{4}$．
∴k≤h（t）_min=h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$．
∴k的取值范围为（-∞，$\frac{1}{4}$]．…（12分）

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想和换元法的合理运用．