Question

18．已知P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{2x+y-2≤0}\\{x+2y-1≥0}\end{array}\right.$，则z=2^x+2^y的最小值为2．

Answer 1

分析 根据基本不等式求出z的最小值转化为求x+y的最小值即可．

解答 解：z=2^x+2^y≥2×$\sqrt{{2}^{x}•{2}^{y}}$=2$\sqrt{{2}^{x+y}}$，
设m=x+y，
则y=-x+m，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=-x+m，由图象知当直线经过点A时直线的截距最小，此时m取得最小值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{x+2y-1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（-1，1），
此时m=-1+1=0，
则z≥2$\sqrt{{2}^{0}}$=2，
故z=2^x+2^y的最小值为2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查基本不等式的应用以及线性规划的综合应用，利用数形结合是解决本题的关键．