Question

设椭圆C1和抛物线C2的焦点均在轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：

	3	-2	4
		0	-4

 

（1）求曲线C1，C2的标准方程；

（2）设直线与椭圆C1交于不同两点M、N，且。请问是否存在直线过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

(1) ；

(2)存在，

【解析】（1）由题意（-2，0）一定在椭圆C1上。设C1方程为，则.

椭圆C1上任何点的横坐标

所以也在C1上，从而，C1的方程为.   4分

从而，（4，-4）一定在C2上，设C2的方程为

即C2的方程为 （2）假设直线过C2的焦点F（1，0）。当的斜率不存在时，则

此时，与已知矛盾。   当的斜率存在时设为，则的方程为代入C1方程并整理得：

  设，则

，，

存在符合条件的直线且方程为