Question

一个公差不为0的等差数列{a_n}共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b_n}的第1、3、5项．

(1)求{a_n}各项的和S；

(2)记{b_n}的末项不大于，求{b_n}项数的最值N；

(3)记{a_n}前n项和为S_n，{b_n}前n项和为T_n，问是否存在自然数m，使S_m＝T_n？

Answer 1

答案：
解析：

解：设{an}公差为d，a1＝5，a4＝5＋3d，a16＝5＋15d分别为{bn}的第1、3、5项． 　　∴(5＋3d)2＝5(5＋15d)，得d＝5或d＝0(舍)． 　　(1)S＝100×5＋×5＝25250． 　　(2)∵b1＝a1＝5，b3＝a4＝20， 　　∴q2＝＝4． 　　∴q＝2或q＝－2(舍)，bn＝5·2n－1． 　　令5·2n－1≤，∴2n≤5050． 　　又212＜5050＜213，即n＜13，且212＝4096＜5050，∴n的最大值N＝12． 　　(3)设有Sm＝Tn，即5 m＋×5＝5(212－1)， 　　整理得m2＋2－8190＝0． 　　∴m＝90＜100或m＝－91(舍)，即存在m＝90使S90＝T12．