Question

13．已知函数f（x）=|2x-1|．
（1）求不等式f（x）＜2；
（2）若函数g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）＜2，则|2x-1|＜2，则-2＜2x-1＜2，即可求得x的取值范围，即可求得不等式f（x）＜2的解集；
（2）由g（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，当且仅当$x∈[\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$时，其最小值a=2，即m+n=2．由基本不等式的性质可知：$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}（m+n）（\frac{2}{m}+\frac{1}{n}）=\frac{1}{2}（3+\frac{2n}{m}+\frac{m}{n}）≥\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）$，即可求得$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$的最小值．

解答 解：（1）由f（x）＜2，则|2x-1|＜2，
∴-2＜2x-1＜2，
解得：$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}$，
故不等式f（x）＜2的解集为：$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．
（2）由函数g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值为a，
∴g（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，
当且仅当$x∈[\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$时，其最小值a=2，
即m+n=2．
又$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}（m+n）（\frac{2}{m}+\frac{1}{n}）=\frac{1}{2}（3+\frac{2n}{m}+\frac{m}{n}）≥\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）$，
∴$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$，
此时$m=4-2\sqrt{2}$，$n=2\sqrt{2}-2$．

点评 本题考查含绝对值的不等式的解法及最值，考查基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．