Question

15．已知函数f（x）是幂函数，其图象过点（2，8），定义在R上的函数y=F（x）是奇函数，当x＞0时，F（x）=f（x）+1，
（1）求幂函数 f（x）的解析式；
（2）求F（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据幂函数的定义通过待定系数法求出即可；（2）根据函数奇偶性的定义求出F（x）的解析式即可．

解答 解：（1）设f（x）=x^α，则2^α=8，解得：α=3，
故f（x）=x³；
（2）当x＞0时，F（x）=f（x）+1=x³+1，
x＜0时，-x＞0，F（-x）=-x³+1=-F（x），
故x＜0时，F（x）=x³-1，
故F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{3}-1，x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了求函数的定义域问题，考查幂函数以及函数的奇偶性，是一道基础题．