题目内容

20．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（　　）
A．$\frac{2\sqrt{2}}{3}$B．$\sqrt{7}$C．$\sqrt{3}$D．$\sqrt{2}$

分析 由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2-2•4a•2a•cos120°，即可求出双曲线C的离心率．

解答 解：由题意，|PF1|=2|PF2|，
由双曲线的定义可得，|PF1|-|PF2|=2a，
可得|PF1|=4a，|PF2|=2a
由四边形PF1MF2为平行四边形，
又∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，
在三角形PF1F2中，由余弦定理可得
4c2=16a2+4a2-2•4a•2a•cos120°，
即有4c2=20a2+8a2，即c2=7a2，
可得c=$\sqrt{7}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{7}$．
故选B．

点评 本题考查双曲线C的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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 x 2 45 6 8 
 y 30 40n 50 70 
A．45B．50C．55D．60
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A．3B．4C．5D．6
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A．3B．1C．-1D．-3

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