Question

20．下列函数为偶函数的是（　　）

• A． y=x²，x∈[0，1]
• B． $f（x）=x（\frac{1}{{{2^x}-1}}+\frac{1}{2}）$
• C． $f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+1，（x＞0）\\ \\ x-1．（x＜0）\end{array}\right.$
• D． $f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$

Answer 1

分析 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．

解答 解：根据题意，依次分析选项，
对于A、y=x²，x∈[0，1]，其定义域不关于原点对称，不是偶函数，不符合题意；
对于B、f（x）=x（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$），有2^x-1≠0，解可得x≠0，即其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f（-x）=（-x）（$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=（-x）（$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$）=x（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$），
即f（-x）=f（x），是偶函数，符合题意；
对于C、f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，（x＞0）}\\{x-1，（x＜0）}\end{array}\right.$，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
若x＞0，则f（x）=x+1，则f（-x）=（-x）-1=-（x+1），
故f（x）为奇函数，不符合题意；
对于D、f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，其定义域为R，关于原点对称，
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），
故f（x）为奇函数，不符合题意；
故选：B．

点评 本题考查函数奇偶性的判断，注意要先分析函数的定义域是否关于原点对称．