Question

2．已知函数f（x）=cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x+a）为偶函数，求|a|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角公式推导出f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由此能求出f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（Ⅱ）g（x）=f（x+a）=sin（2x+2a-$\frac{π}{3}$），由函数g（x）为偶函数，求出a=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z，由此能求出|a|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
=sinxcosx-$\sqrt{3}co{s}^{2}x$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$
=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2k$π-\frac{π}{2}$$≤2x-\frac{π}{3}≤$$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴函数f（x）单调递增区间为[k$π-\frac{π}{12}$，k$π+\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）由题意得g（x）=f（x+a）=sin（2x+2a-$\frac{π}{3}$），
∵函数g（x）为偶函数，
∴2a-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解得a=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z，
当k=-1时，|a|的最小值为$\frac{π}{12}$．

点评 本题考查三角函数的最小正周期、单调增区间的求法，考查实数值的绝对值的最小值求法，考查二倍角公式、三角形图象及性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．