Question

1．函数y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线 $\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$-4=0（m＞0，n＞0）上，则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=4；m+n的最小值为1．

Answer 1

分析 利用对数的性质可得：函数y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（1，1），代入直线 $\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$-4=0（m＞0，n＞0）上，可得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=4，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答 解：当x=1时，y=log_a1+1=1，
∴函数y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（1，1），
∵点A在直线 $\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$-4=0（m＞0，n＞0）上，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=4．
∴m+n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）（m+n）=$\frac{1}{4}$（2+m+n），
≥$\frac{1}{4}$（2+2$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{n}{m}}$）=1，当且仅当m=n=$\frac{1}{2}$时取等号．
故答案是：4；1．

点评 本题考查了对数的运算性质、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．