Question

8．已知函数F（x）=g（x）+h（x）=e^x，且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若对任意的x∈（0，+∞），不等式g（2x）≥ah（x）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2$\sqrt{2}$]
• B． （-∞，2$\sqrt{2}$）
• C． （-∞，2]
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求f（x）和g（x）的解析式；根据不等式恒成立进行转化，利用一元二次不等式的性质即可得到结论．

解答 解：∵函数F（x）=e^x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，
∴g（-x）=g（x），h（-x）=-h（x）
∴e^x =g（x）+h（x），e^-x=g（x）-h（x），
∴g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，h（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$．
∵?x∈（0，+∞），使得不等式g（2x）≥ah（x）恒成立，即$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{2}$≥a•$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$恒成立，
∴a≤$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$=（e^x-e^-x）+$\frac{2}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，
设t=e^x-e^-x，则函数t=e^x-e^-x在（0，+∞）上单调递增，
∴0＜t，
此时 不等式t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当t=$\frac{2}{t}$，即t=$\sqrt{2}$时，取等号，∴a≤2$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的应用以及不等式恒成立问题，根据奇偶性的定义利用方程组法是解决本题的关键．