Question

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．

(1)求证：ED⊥平面EBC；

(2)求三棱锥E－DBC的体积.

 

Answer 1

(1)见解析；（2）

【解析】

试题分析：

(1)易得△DD1E为等腰直角三角形DE⊥EC，BC⊥平面 BC⊥DE，所以DE⊥平面EBC平面DEB⊥平面EBC．

（2）需要做辅助线，取CD中点M，连接EM∥，DCB （这个证明很关键），然后根据公式.

试题解析：

(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．

∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．

∴，即DE⊥EC．

在长方体ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面，

∴BC⊥DE．又，

∴DE⊥平面EBC．又

∴平面DEB⊥平面EBC．

（2）取CD中点M，连接EM，

E为D1C1的中点，

∥，且,

又DCB

.

考点：线面垂直，三棱锥的体积.