Question

13．已知实数x，y满足x²+y²-xy=2，则x²+y²+xy的取值范围（　　）

• A． （-∞，6]
• B． [0，6]
• C． [$\frac{2}{3}$，6]
• D． [1，6]

Answer 1

分析 设x²+y²+xy=A，分别求得x²+y²和2xy，分别构造（x+y）²≥0及（x-y）²≥0，解关于A的不等式，即可求得A的取范围．

解答 解：设x²+y²+xy=A，
∵x²+y²-xy=2，
两式相加可得，2（x²+y²）=2+A      （1）
两式相减得得：2xy=A-2      （2）
（1）+（2）×2得：
2（x²+y²）+4xy=2（x+y）²=3A-2≥0
∴A≥$\frac{2}{3}$，
（1）-（2）×2得：
2（x-y）²=-A+6≥0，
∴A≤6 
综上：$\frac{2}{3}$≤A≤6，
故选：C．

点评 本题考查构造法求未知数的取值范围，运用（x+y）²≥0及（x-y）²≥0，考查分析问题及解决问题能力，属于中档题．