Question

5．已知：函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+a（a∈R，a为常数）
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期、单调递增区间；
（2）若x∈R，求f（x）的对称轴方程和对称中心坐标；
（3）若f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上最大值与最小值之和为3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先利用辅助角和二倍角的基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）结合三角函数的图象和性质直接求解即可．
（3）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到a的取值

解答 解：函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+a=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+a，（a∈R，a为常数）
化简可得：$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+a+1$．
（1）最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
令2k$π-\frac{π}{2}$≤$2x+\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z
解得：$kπ-\frac{π}{3}$$≤x≤kπ+\frac{π}{6}$
∴单调递增区间$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]$，k∈Z．
（2）由对称轴方程：2x$+\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$
解得：$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，k∈Z
∴对称轴方程$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，k∈Z
由对称中心的横坐标：2x$+\frac{π}{6}$=kπ，
解得：x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$
∴对称中心坐标（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$，a+1）k∈Z．
（3）∵$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$
∴⇒$2x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$
∴⇒$2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$
故得$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$
即f（x）_min=a，f（x）_max=a+3，
∴a+a+3=3，
解得：a=0．
故得f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上最大值与最小值之和为3时，a的值为0．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．